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第七讲度量空间的和线ppt

gecimao 发表于 2019-08-02 02:46 | 查看: | 回复:

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  第七章 度量空间和线 柯西(Cauchy)点列和完备度量空间 * * 教学目标: 1、掌握柯西点列及完备度量空间的定义; 2、会利用定义证明几类典型空间的完备性,培养知识 迁移能力; 3、掌握并不是所有度量空间都完备,并会证明空间的 不完备性. 教学重点:完备度量空间的定义,定理1. 教学难点:定理1的应用,空间完备性的证明. 存在正整数 当 时有 则称是中的柯西点列.类似地可以定义度量空间中的柯西点列. 首先回忆一下 中柯西点列的定义.设 是 中的点列,如果对任意给定的整数 定义1 设 是度量空间, 是 中的点列,如果对任何事先给定的整数 存在正整数 是当 时,必有 则称 是 中的柯西点列或基本点列.如果度量空间 中每个柯西点列都在 中收敛,那么称 是完备的度量空间. 注意:这里要求在 中存在一点,使该柯西点列收敛到这一点. 由度量空间的定义,立即可知有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备,但 维欧氏空间 则是完备的度量空间.在一般的度量空间中,柯西点列不一定收敛,但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点列.实际上,如果 那么对任何正数 存在 使当 时,有 因此,当 时,由三点不等式,得到 即 是柯西点列. 例1 是完备度量空间. 证明 设 是 中的柯西点列,其中 于是对于任意 存在正整数 当 时, (1) 因此,对每一个固定的 当 时,成立 (2) 这就是说,数列 是柯西点列,因此,存在数 使得 令 下面证明 且 在(2)式中,令 我们得到,对一切 成立 (3) 又因 因此存在实数 使得对所有 成立 因此, 这就证明了 由(3)式,可知对一切 成立 所以 因此 是完备度量空间.证毕. 令 表示所有收敛的实(或复)数列全体,对 中任意两点 令 易证 是一度量空间,实际上它是 的一个子空间. 定理1 完备度量空间X的子空间M,是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间. 证明 设M是完备子空间,对每个 存在M中的点列 ,使 由前述, 是M中柯西点列,所以在M中收敛,由极限的唯一性可知 ,即 所以 因此M是闭子空间. 反之,如果 是M中柯西点列,因X是完备度量空间,所以存在 使 由于M是X中闭子空间,所以 ,即 在M中收敛.这就证明了M是完备度量空间.证毕. 例2 是完备的度量空间. 证明 有定理1,只要证 是 中的闭子空间即可.对任何 存在 因此对任何正数 存在正整数 当 时,对所有自然数 成立 特别取 那么对所有 有 但因 即 当 时收敛,因此存在 使对当 时,有 于是当 时,成立 这说明 是柯西数列,因而收敛,即 所以 是 中的闭 子空间.证毕.

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