搜索
当前位置: 分分彩网站 > 度量空间 >

Strongart数学科普:从度量拓扑到拓扑空间pdf

gecimao 发表于 2019-08-02 02:46 | 查看: | 回复:

  1.本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

  数学科普:从度量拓扑到拓扑空间 在上一讲中我们介绍了距离空间的概念,先回顾一下,什么是距 离空间呢?它可以表示为(X,d)。其中X是一个集合,这样的集合 可以是任意的,因为我们可以定义离散距离。而d就是所谓的距离函 数,其定义域是X×X,值域是[0,∞),因而是非负的,此外还具有 唯一性、对称性和最小性。它们是从欧氏几何中距离的典型性质中抽 象出来的,而一般的方法则可以概括为性质优先。 在本讲中,我们要介绍拓扑空间的概念,正如距离可以公理化为 抽象的距离空间一样,拓扑空间可以通过对开集的公理化而得到,或 许可以称为是开集空间。而对于具体的开集,我将直接在距离空间中 加以定义,而不先在R^n中定义,因为一般的R^n并不比距离空间多 看到多少的直观。当然,R×R或C的情形完全可以作为是一个直观 的模型。 可以毫不夸张地说,开集是理解拓扑的一张通行证,而它的原型 则是开球(比如很多读者熟悉的开区间,就是一维的开球)。为了定 义开集,先给出开球的概念,它可以参照R×R中的(不带边的)球 体(即圆盘)来理解。 X d x X r0 定义 设( , )是一距离空间, ∈ , , 称点集 B(x,r)={y∈X且d(y,x)r}是以x为中 心,r为半径的开球; B B BB(x,r)={y∈X且d(y,x)≤r}是以x为中心, r为半径的闭球; S x,r ={y X d(y,x)=r} x ( ) ∈ 且 是以 为中 心, 为半径的球面r . 显然,我们有B(x,r)=B(x,r)∪S(x,r)和B(x,r)∩S(x,r) =¢。 注意:对闭球的通用的记法是加上划线,这里由于技术原因我改 成了下划线。 这里我要提醒读者注意的是(闭)球体与球面的区别,在R×R中, 球体通常被称为圆盘,而球面则常被称为一个圈。但是,在R×R×R 中,球体与球面通常都被称为球,这就是它们常常被混淆的原因。事 实上,有限维球面总是比相应的球体要低一维,我更喜欢称球面为球 皮,相信这一不规范的称呼能够给出一个非常直观的理解。 有余力的读者不妨再考虑一下无限维的情形:比如说,无限维的 球体如何可能呢? 下面我们就来定义开集的概念,先从内点开始。 定义:设X是度量空间,G包含在X内,x∈X.如果 存在以x为中心的开球B (x,δ)包含在G内, 则称x是G的内点. G G X . 若 的每一个点都是内点,就称 是 的开集 规定空集也是开集. 这样的定义或许有点抽象,让我们来举几个例子。 平凡地,度量空间X本身就是X中的开集。 比如,开区间(0,1)就是R的一个开集,为什么呢(当然不是 因为它们都有一个“开”字)?让我们来按照定义验证一下,需要证 明的是(0,1)中的任意一点x都是R的内点,即存在一个以x为中 心的开区间(一维开球)(x-a,x+a)在(0,1)内。事实上,任取 x∈(0,1)固定,x与0,1的距离总有一个最小值h,令a小于这样 的最小值h即可,比如取a=min(x,1-x)/2。显然,这里的a与x 的取值有关,当x接近于端点0或1时,a趋近于零。 请注意,我们不能笼统的说(0,1)是开集,正如距离与背景空 间相关一样,由距离衍生的概念开集也一样与背景空间相关。比如(0, 1)就不是R×R的开集,因为在一维空间的它没有能力包含任何的二 维开球。同样的道理,包含在R^m(mn)空间的集合不可能是R^n 中的开集,包含在有限维空间的集合不可能是无限维空间中的开集。 开集G在X中的补集称为X中的闭集,比如[0,1]就是R中的闭 集(因为(-∞,0)∪(1,∞)是R中的开集)。但我们不能由某个 集合是闭集就推出它一定不是开集,比如X就在X中就既是开集又是 闭集,而非平凡的例子则会导出所谓连通性的概念,这里就不能多谈 了,只举一个例子:取X=(-∞,0)∪(1,∞),则(-∞,0)在X 中就既是开集也是闭集,(1,∞)也是一样。 下面我们来证明一个平凡的命题,思路可以通过与上面说明开区 间(0,1)是R的开集类比得到。 命题1:度量空间X中的任何开 球都是X的开集. 分析:设B=B(x,δ)是以x为中心的开球,对任意y∈B(x,δ), 根据开集的定义要取适当的r0,使得B(y,r)包含在B中。这里的 r应该怎样选取呢?在一维的情形中,它取的是与边界点的距离,但 那里只有两个边界点,因此取最小值就可以了。但在R×R中这样的 点就有无限个,这里甚至根本不知道边界点有多少,好在我们有处理 距离的三角不等式。 证明:设B=B(x,δ)是以x为中心的开球,对任意y∈B(x,δ) 固定,任取z∈S(x,δ),有d(x,z)=δ,故由三角不等式 d(y,z)≥d(x,z)-d(x,y)=δ-d(x,y) (与z无关) 取r=[δ-d(x,y)]/2即可。 事实上,对任意点t∈B(y,r),都有 d(x,t)≤d(x,y)+d(y,t)≤d(x,y)+r =d(x,y)+[δ-d(x,y)]/2=[δ+d(x,y)]/2δ 这就证明了t∈B(x,δ),从而B包含B(y,r)。■ 感到困难的读者不妨自己画张图来帮助理解这个证明。 我们已经证明了度量空间中的开球是开集,由此可以构造出更多 的开集,比如可以讨论以下它们在集运算(补、交、并)下的结果是 否为开集。 显然,开集的补集未必是开集,但是否一定不是开集呢?当然不 是这样,比如度量空间X中的X与其补集¢都是开集。事实上,这个 问题我们已经分析过,就是前面是否存在既是开集又是闭集的问题。 我们再来看交集的情形,有如下的命题。 命题2:如果B1与B2都是度量空间X中的开球, 则B1∩B2是X的开集. 证明:若B1∩B2=¢,则结论显然。 若B1∩B2≠¢,可任取x∈B1∩B2,由命题1,x是B1与B2的内 点,故存在r1,r2,使得B1包含B(x,r1),B2包含B(x,r2)。这样 取r是r1与r2的最小值,则有B1∩B2包含B(x,r),从而x也是B1∩B2 的内点。由x的任意性,B1∩B2是开集。■ 类似的证法可以推广到有限个开球的情形,有兴趣的读者不妨 自己证一下下面的命题2’。 命题2’:如果B1,B2,…,Bn都是度量空间X中的开球,则 B1∩B2∩…∩Bn是X的开集. 一个自然的想法是能不能把这样的结论推广到无限个集合的交 集,至少是可数个集合的交集的情形,但遗憾的是,这样的推广一般 是不可能的。如果仿照命题2的证明的话,我们可以发现将得到无穷 多个ri0,但它们的下确界(就是第一讲中介绍的“最小值”)可 能是0(在有限个开球的情形中,这样的最小值一定大于0)。 事实上,即使是在R中,我们也有如下的反例: ∩(-1/n,1/n)={0} (其中n取1,2,…) 说明一下这个等式是有意思的。首先,对任何n,有(-1/n,1/n) 包含{0},因此,左边包含右边。同时,对任何r≠0,总有充分大的 N存在,使得(-1/N,1/N)不包含r,因此左边包含于右边。这样, 两边的集合就是相等的,有兴趣的读者可以再考虑一下平面与高维的 情形。 尽管度量空间X中任意个开球的交集未必一定是开集,但任意个 开球的并集却必定是开集,因为我们只要任意取一个ri就可以了。 即有: 命题3:如果Bi(i∈I)都是度量空间X中的开球,则 ∪(i∈I)Bi是X的开集. 证明:任取x∈∪(i∈I)Bi,则对某i∈I,x∈Bi,故由命题1, 存在r0,使Bi包含B(x,r),从而∪(i∈I)Bi亦包含B(x,r)。 ■ 在R^n中,为了积分的方便,常常用开方体来代替开球处理类似 问题。下面以n=2的时候做一个简单的说明,此时的开方体就是指开 矩形(a,b)×(c,d)(ab,cd) 事实上,我们有类似结论: 1.任何开方体都是开集。 2.任何有限个开方体的交集是开集。 3.任意多个开方体的并集是开集。 可以想象,如果仅仅是在R^n中讨论,很可能开方体将取代开球。 事实上,它们同样是可行的,对此我们可以作一个事后诸葛亮式的说 明:在任意开方体中都包含一个同心的圆。同时,开方体将更适合周 围的逻辑环境,或者说我们运用起来会更加方便。当然,不排斥有某 种外星人会使用开三角形作为基础,而这样的思想将进一步导出拓扑 基的概念。 最后,我们要说明上述开球的交与并的性质是任何开集都具备的, 我们按性质优先的法则把它提取出来,就得到所谓拓扑空间的概念。 定理 任何有限个开集的交集是开集, 任意多 个开集的并集是开集. 证明:利用开集的定义取开球,然后仿照相应开球的情形进行证明, 细节略■ 下面我们给出拓扑空间的定义,请读者思考它与上述定理的关 系。 定义:设X是一个非空集合,若U是X的子集组成的一个集族,满足: O1:¢、X∈U O2 T1 … Tn U→∩ i=1,…,n Ti U : , , ∈ ( ) ∈ O3 Tα U α I→ α I Tα U : ∈ , ∈ ∪( ∈ ) ∈ 则称U是X上的一个拓扑,称(X,U)是一个拓扑空间,U中的集 合称为开集. 公理T1-T3称为是开集公理. (我们没有把O1-O3称为拓扑公理,是因为拓扑公理另有所指, 它们刻画了介于了拓扑空间与距离空间之间的满足不同强度性质的 空间,它们也是所谓点集拓扑中的基本内容。) 这里我们在更抽象的意义上看到了开集,也就是说只要满足上面 的定义,不用考虑具体的距离空间,就可以直接在拓扑空间中得到开 集。但如果已经得到距离空间,就可以直接诱导出相应的拓扑空间, 比如定义其中的开集为若干开球的并。由此我们可知,拓扑空间是比 距离空间更一般的一类空间。 我们已经知道任何一个集合上都可以定义开集,对于拓扑也是一 样。事实上,我们有更进一步的结论。 命题4:任何非空集合X上都 可以定义拓扑.如果X至少包括两个点,则至少可以定义两种不同的拓 扑. 证明:拓扑的定义可以通过确定其中的开集U而确定。至少可定 义U1={¢,X},U2={T;T是X的任一子集},只要X包含至少两个点, 则这样的U1与U2是不同的。■ 上面定义的拓扑U1称为平庸拓扑,它是集合上定义的最弱拓扑, 通常距离空间的开球都不是此拓扑下的开集(是否与命题1矛盾?)。 而U2则称为是离散拓扑,它是集合上定义的最强拓扑,可以由离散 度量来诱导(可以考虑半径为1/2的球)。 好了,至此我们已经从具体的欧氏空间达到了一般的拓扑空间。 这些内容仅仅作为一个引导,主要是像展示一下从具体到抽象的过 程,这样的过程在现代数学中的屡见不鲜的。就具体的知识而言,即 使作为分析学的基础,也至少还要加上像连续、紧性、连通性、分离 公理等基本概念。而专门的拓扑学则更是内容丰富,除了最基础的点 集拓扑之外,还有使用代数语言刻画的代数拓扑、结合了分析方法的 微分拓扑等等。这些都远不是一个科普作品所能包容的,还请有兴趣 的读者去阅读专门的教材和著作。 本文作者Strongart 是一位自学数学的牛人,现在他依然努力坚 持自学数学,似乎又有了新的突破,还录了一些数学专业教学视频放 在网上。然而,他却一直没有收到专业人士的邀请,至今只能依靠网 络书店购买书籍,无法获取海量的论文资料,也没有机会和一流的学 者们交流,最后只能走上娱乐拯救学术的道路,这不论对他自己还是 对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用 自己的实际行动支持一下! 欢迎大家二次分享此文档,请注明文档作者Strongart,欢迎访问 Strongart的新浪博客。

  ·[外国诗歌丛书]一条未走的路-弗罗斯特诗歌欣赏[美]弗罗斯特.方平译.上海译文出版社(1988).pdf

  ·从应感、喻志、缘情、玄思、游观到兴会--论中国古典诗歌所开显「人与自然关系」的历程及其模态.pdf

  ·中国古典文学基本丛书038·李商隐诗歌集解(全五册)·刘学锴、余恕诚著(中华书局1988).pdf

  ·Introduction to Algorithms 3rd Edition算法导论第三版.pdf

本文链接:http://ramadaguam.net/duliangkongjian/603.html
随机为您推荐歌词

联系我们 | 关于我们 | 网友投稿 | 版权声明 | 广告服务 | 站点统计 | 网站地图

版权声明:本站资源均来自互联网,如果侵犯了您的权益请与我们联系,我们将在24小时内删除。

Copyright @ 2012-2013 织梦猫 版权所有  Powered by Dedecms 5.7
渝ICP备10013703号  

回顶部